![](https://dreamschool.com.ua/wp-content/uploads/2022/03/upl_1561139246_425084.jpg)
У житті часто доводиться що-небудь обирати з великої кількості всіляких варіантів. Наприклад,
• скількома способами можна розташовувати в турнірній таблиці 10 футбольних команд, якщо жодні дві з них не набрали порівну очок?
• скількома способами можна скласти розклад на день із 4 навчальних предметів для однієї групи, якщо в групі вивчається 9 предметів?
• cкільки п’ятицифрових чисел можна скласти із цифр 1,2,3,4,5, якщо цифри в числі не повторюються?
Відповідаючи на ці запитання, потрібно підрахувати, скільки різних комбінацій, утворених за певним правилом, можна скласти з елементів заданої скінченної множини. Для таких задач існують загальні методи розв’язування, що вивчає комбінаторика як розділ математики.
Елементи комбінаторіки
Згадайте, що з деякими елементами комбінаторики ви вже ознайомилися в попередніх класах.
Скінченна упорядкована множина – така множина, для якої визначений порядок розміщення її елементів.
![](https://dreamschool.com.ua/wp-content/uploads/2022/03/1108469e5aa696861be6c0ccb0f205d9.jpg)
Комбінаторика – розділ математики, у якому
вивчають способи вибору та розташування
елементів з деякої скінченної множини, які
відповідають певним умовам.
Ці правила визначають спосіб побудови
деякої конструкції – комбінаторної сполуки.
Основа класичної комбінаторики – комбінаторні
правила суми та добутку.
Наприклад (правило суми). На тарілці лежать 5 яблук і 9 груш. Один плід можна обрати 5+9=14 способами.
З цієї задачі маємо правило суми:
![](https://dreamschool.com.ua/wp-content/uploads/2022/03/warning-34621_1280-1024x988.png)
Якщо деякий елемент А можна вибрати т способами,
а елемент В — r способами (причому будь-який вибір
елемента А відрізняється від вибору елемента В), то
вибрати А або В можна т + r способами.
Розглянемо другий приклад . На пошті в продажу є 5 різних конвертів і 3 різні марки. Скількома способами можна купити конверт з маркою?
![](https://dreamschool.com.ua/wp-content/uploads/2022/03/bv9r7ot4vco99bk2bdjg.png)
Розв’язання. 1-й спосіб.
Намалюємо дерево можливих
варіантів (мал.1). Позначимо
конверт буквою К, марку – буквою М.
Малюємо від стовбура 5 гілок (оскільки є 5 видів конвертів). Оскільки маємо 3 марки, то від кожної з п’яти отриманих точок
Малюємо по 3 гілки. Рахуємо кількість отриманих внизу точок – 15 і отримуємо відповідь до задачі. Дерево можливих варіантів, до речі, дає змогу розв’язувати різноманітні задачі, пов’язані з обчисленням кількості способів.
2-й спосіб. Оберемо конверт. У комплект до нього можна вибрати будь-яку з трьох марок. Тому є 3 комплекти, що містять обраний конверт. Оскільки конвертів усього 5, то кількість різних способів становить 15 (5 ∙ 3 = 15).
Дійшли до важливого правила комбінаторики – правила добутку:
![](https://dreamschool.com.ua/wp-content/uploads/2022/03/warning-34621_1280-1-1024x988.png)
Якщо елемент А можна обрати m способами, а після
кожного такого вибору інший елемент В можна
обрати (незалежно від вибору елемента А) n способами,
то пару елементів А і В можна обрати m ∙ n способами.
Правило добутку можна використовувати, якщо треба обрати більше 2 елементів.
Приклад 3. На пошті в продажу є 5 різних конвертів, 3 різні марки і 4 різних вітальні листівки. Скількома способами можна купити комплект, що містить конверт, марку та листівку?
Розв’язання. 5 ∙ 3 ∙ 4 = 60 способів.
Розглянемо далі задачу, у якій треба полічити кількість способів, якими можна розмістити в ряд певну кількість предметів.
Факторіал та перестановки.
Перш, ніж ми перейдемо до вивчення наступних понятть, давайте розглянемо дуже важливе поняття комбінаторіки. Це факторіал.
![](https://dreamschool.com.ua/wp-content/uploads/2022/03/depositphotos_88377020-stock-illustration-attention-businessman-pointing-finger-1024x1024.jpg)
Факторіалом числа n, де n— ціле невід’ємне число, називають добуток усіх натуральних чисел від 1 до n. Позначають це так: n! (читають: «ен факторіал»). Отже, n! = 1 • 2 • 3 • … • (n — 1) • n.
За означенням приймають 0! = 1.
Наприклад, 4! = 1 • 2 • 3 • 4 = 24.
Розглянемо приклад.
Зоя, Оля та Ян зайшли до шкільного буфету. Скількома способами вони можуть вишикуватися в чергу?
Зрозуміло, що існує 6 варіантів.
Зоя, Оля, Ян Оля, Ян, Зоя Ян, Зоя, Оля Зоя, Ян, Оля Оля, Зоя, Ян Ян, Оля, Зоя
Ще один приклад. Денний розклад містить 7 уроків. Скількома способами можна скласти денний розклад так, щоб усі 7 уроків були різними? Іншими словами, скільки існує перестановок із 7 уроків? Подібні задачі називають задачами на знаходження кількості перестановок. Кількість перестановок із n елементів позначають символом Pn (читають: «пе з ен»; Р – перша літера від франц. слова permutation – перестановка).
Для будь-якого натурального n справедлива формула:
![](https://dreamschool.com.ua/wp-content/uploads/2022/03/bv9ts9l4vco99bk2be8g.png)
Отже, троє дітей можуть вишикуватися в чергу 3! = 6 способами, а кількість розкладів із 7 уроків дорівнює 7! = 5040.
Задача 1. Скількома способами 5 машин можуть вишикуватися в колону? Р оз в’яз анн я. У даній задачі треба обчислити кількість перестановок із 5 елементів. Використовуючи формулу (1), маємо: P5 = 5! = 120. В і дп о в і д ь: 120.
Задача 2. Дитина грається трьома іграшками: машиною, трактором, кораблем. Скількома способами їх можна викласти в ряд?
![](https://dreamschool.com.ua/wp-content/uploads/2022/03/bv9s0qgeh87u5l4htp0g.png)
Розв’язання. На перше місце
можемо поставити одну з трьох
іграшок: машину, трактор або
корабель. Після цього на друге
місце можна поставити одну з
двох наступних іграшок. Після
цього на третє місце ставимо
одну іграшку, яка залишилася
після вибору перших двох.
Використовуючи правило добутку, знайдемо, що іграшки можна розмістити
шістьма різними способами (3 ∙ 2 ∙ 1). Перевіримо розв’язок задачі за допомогою
дерева можливих варіантів (мал.1).
Обчислити кількість способів, якими можна розмістити в ряд кілька предметів – перестановки, ми можемо за допомогою поняття факторіал. У нашій задачі кількість перестановок з трьох елементів дорівнює: Р3 = 1 ∙ 2 ∙ 3; аналогічно кількість перестановок з двох елементів Р2 = 1 ∙ 2; із чотирьох елементів Р4 = = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 = 24; з п’яти Р5 = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 = 120 і т. д.
І як завжди, закріпити вивченний матеріал ми пропонуюємо вам відео-контентом, з якого ви дізнаєтесь базисні поняття комбінаторіки, а саме факторіал – що це таке і як його рахувати. Також, розглянемо як рахувати кількість перестановок з деякого числа елементів. При чому це буде зроблено на конкретному, простому прикладі, після чого, ви зможете використовувати ці знання і у більш складних випадках.
Дивимось!
Домашнє завдання.
1.Підручник стор. 125 – 130 (на стор. 130 читати тільки тему “Перестановки”)
2. Виконати завдання: 14.5; 14.7 (стор.133).